Розділ 7. Чисельне розв’язування рівнянь з частинними похідними §1. Крайові задачі для рівнянь з частинними похідними Для того, щоб повністю описати фізичний процес, необхідно, крім самого рівняння з частинними похідними, яке описує цей процес, задати початковий стан процесу (початкові умови) і режим на границі області (граничні умови). Додаткові умови (початкові та граничні) дозволяють виділити єдиний розв’язок диференціального рівняння. Задачу, в якій є тільки початкові умови називають задачею Коші. Якщо задаються лише умови на границі області, то така задача називається крайовою. Задачу з початковими та граничними умовами називають мішаною задачею. Розглянемо, наприклад, задачу: знайти функцію
, яка в області
задовольняє рівняння
, (1) а на границі
області
одну з граничних умов:
, (2)
, (3)
, (4) де
– нормальна похідна за напрямком
– задані функції. Рівняння (1) називається рівнянням Пуассона, яке, як відомо, є еліптичним рівнянням, а умови (2), (3), (4) називаються відповідно крайовими умовами 1-го, 2-го та 3-го роду. Крайова задача (1), (2) ще називається задачею Діріхле, а задача (1), (3) – задачею Неймана. Для рівняння параболічного типу (рівняння теплопровідності)
(5) мішана задача ставиться так: знайти функцію
, яка задовольняє рівняння (5), початкову умову
(6) та граничну умову
, (7) де
– деякий еліптичний оператор (наприклад,
),
– оператор, який задає граничну умову 1-го, 2-го або 3-го роду. Аналогічно ставиться мішана задача для рівняння гіперболічного типу: знайти функцію
, яка задовольняє рівняння
, (8) початкові
(9) та граничну умову (7). Оскільки розв’язок задач (5) – (7) і (8), (9), (7) залежить від часу, то такі задачі називають нестаціонарними. У цьому розділі розглядаються сіткові методи розв’язування рівнянь з частинними похідними. Їх можна застосовувати до широкого класу рівнянь і різних типів задач для них. §2. Основні поняття методу сіток Для побудови сіткової схеми необхідно замінити область неперервної зміни аргументів дискретною множиною точок (сіткою), а диференціальне рівняння та додаткові умови – сітковими рівняннями, тобто системою алгебраїчних рівнянь. Раніше ми вже розглядали приклади сіток в одновимірній області: рівномірна сітка на відрізку
; нерівномірна сітка на
. Розглянемо приклад сітки у двовимірній області. Нехай на площині
задана область
з границею Г. На відрізках
побудуємо рівномірні сітки
. Множину вузлів
називають сіткою у прямокутнику
і позначають
. Сітка
складається з точок перетину прямих
Точки
, які належать Г, називають граничними і позначають через
. Нехай
– сітка, введена в одновимірній області, а
– вузли сітки. Функцію
дискретного аргумента
називають сітковою функцією, визначеною на
. Аналогічно визначається сіткова функція на сітці
у двовимірній області. Якщо
– вузол сітки
, то
. Сіткові функції можна також розглядати як функції цілочисельного аргумента, який є номером вузла сітки. Сіткову функцію
, задану на сітці
, можна записати у вигляді вектора розміру

. Якщо
– сітка в прямокутнику, то сітковій функції
, заданій на
, відповідає вектор
розміру
. Як правило, розглядають множину сіток
, які залежать від кроку h як від параметра, а тому сіткові функції
залежать від параметра h, якщо сітка рівномірна. У випадку нерівномірної сітки під h розуміють
або
Множина сіткових функцій
утворює простір
. У просторі
можна ввести норму
. Вкажемо найпростіші типи норм:
Нехай в області
евклідового простору
з границею Г небхідно знайти розв’язок лінійного диференціального рівняння
...